πώς να προσδιορίσετε εάν μια ακολουθία είναι μονοτονική


Απάντηση 1:

Ναι, με την προϋπόθεση ότι ο χώρος είναι πλήρης.

Για παράδειγμα, εάν ο χώρος είναι το σύνολο \; [0, 4] \; \ cap \ mathbb {Q} \ ;, \; (το σύνολο των λογικών μεταξύ 0 και 4) τότε η ακολουθία \; (a_ {n} ) \; όπου \; a_ {n} = 1 + \ frac {1} {1!} + \ frac {1} {2!} + \ frac {1} {3!} + ... + \ frac { 1} {n!} \;

αυξάνεται μονοτονικά και οριοθετείται παραπάνω αλλά δεν συγκλίνει.


Απάντηση 2:

Θα έπρεπε να έχετε προσθέσει μια προϋπόθεση ότι υπάρχει το supremum. Πράγματι, η ακολουθία a_k = k αυξάνεται μονοτονικά αλλά δεν συγκλίνει.

Ας υποθέσουμε ότι μια μονοτονική ακολουθία έχει ένα supremum C. Αυτό σημαίνει ότι για όλα τα \ epsilon> 0, υπάρχει ένα στοιχείο ακολουθίας a_k έτσι ώστε C - a_k <\ epsilon. Λόγω της μονοτονικότητας, για όλα τα k '\ ge k, θα έχουμε ακόμα 0 \ le C - a_ {k'} \ le C - a_ {k} <\ epsilon, το οποίο αποδεικνύει τη διορθωμένη έκδοση της δήλωσης προβλήματος.


Απάντηση 3:

Εδώ είναι η ενημερωμένη απόδειξη. Όλα ήταν λεπτομερή ....